Las Maravillas Del Algebra.: noviembre 2018

lunes, 26 de noviembre de 2018

8.-Ecuaciones de Primer Grado.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación es una igualdad matemática que se caracteriza por tener un elemento desconocido, llamado incógnita.

¿CÓMO SABEMOS SI ES UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO?

El grado de una ecuación indica el número de soluciones que tiene la ecuación. Así, una ecuación de primer grado tiene una solución, una de segundo grado tiene dos soluciones y así sucesivamente.

¿QUÉ ES EL GRADO DE UNA ECUACIÓN?

El grado de una ecuación coincide con el mayor exponente al que están elevadas las incógnitas.

¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO?

Son aquellas ecuaciones donde la x sólo aparece elevada a 1, o con otras palabras, aparece simplemente la x.

¿QUÉ ES RESOLVER UNA ECUACIÓN?

Es encontrar el valor numérico que debe tener x para que la igualdad sea cierta.Para ello hay que ir simplificando la ecuación, hasta dejar la x sóla en uno de los miembros, que es a lo que se le llama despejar la "x".

•Para despejar "x" hay que tener en cuenta la JERARQUÍA DE OPERACIONES.

Los términos pueden pasar del miembro de la izquierda al de la derecha. Ejemplo:

•Cuando un término está SUMANDO en un miembro, pasa al otro miembro RESTANDO.

•Cuando un término está RESTANDO en un miembro, pasa al otro miembro SUMANDO.

•Cuando un término está MULTIPLICANDO en un miembro, pasa al otro miembro DIVIDIENDO a todo el miembro.

•Cuando un término está DIVIDIENDO en un miembro, pasa al otro miembro MULTIPLICANDO a todo el miembro.

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:

•Reubicar términos: Pasar los términos con x a un miembro y los números al otro miembro.

•Simplificar: Agrupar términos semejantes.

•Despejar la x.

EJEMPLO DE ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:(COMO RESOLVERLA)

Partiremos de la siguiente ecuación:

Empezamos con el primer paso

1 – Reubicar términos.

Mediante la transposición de términos, tenemos que pasar los términos que llevan x al primer miembro y los números que no llevan x al segundo miembro. Los términos que ya están en el miembro que les corresponde no hay que tocarlos.

Seguimos con el segundo paso.

2 – Simplificar: Agrupar términos semejantes.

En este paso hay que agrupar los términos semejantes, es decir, operar por un lado con los términos con x y por otro lado con los términos sin x.

•Nunca se pueden agrupar términos con x y números. No se pueden operar con ellos. No lo olvides.

Para finalizar, nos queda el último paso, que es despejar la x.

3 – Despejar la x.

Tenemos la ecuación ya con los términos en su sitio y simplificados. Vamos ahora a despejar la x.

Tenemos que dejar la x completamente sola y ahora mismo tiene un 6 delante:

Como está multiplicando a la x, pasa al otro miembro dividiendo:

Y ya tan sólo nos queda realizar la división

Y ésta es la solución de la ecuación.

• Si la fracción no fuera exacta, se simplifica y se deja en forma de fracción.

7.- Division de Polinomio entre Monomios.

https://www.youtube.com/watch?v=aqxgWHBe1aE

En este sentido, cada uno de los distintos casos de división de polinomios, es decir, si el polinomio se divide entre un monomio o un polinomio, plantea procedimientos u operaciones distintas.

En el primer caso, cuando las dos expresiones involucradas en la división son un polinomio (suma finita de monomios y término independientes) y un monomio (expresión algebraica elemental constituida por el producto de números y letras, elevadas siempre a exponentes enteros y positivos) se deberán tener en cuenta los siguientes pasos:

1.-Una vez planteada la operación, se debe revisar los términos para comprobar que en efecto se trata de un polinomio y un monomio, lo cual se hace verificando que los exponentes a los que se encuentran elevados los literales de estas expresiones, en efecto sean números enteros y positivos, incluido el cero.

2.-El segundo paso será entonces la organización del polinomio, el cual deberá se dispuesto en forma descendente según su grado.

3.-Hecho esto, se procederá a plantear la división del monomio entre cada uno de los términos que conforma el polinomio.

4.-Cada división se resolverá a través de la división de los coeficientes de cada término, y la resta de sus exponentes.

5.-Finalmente, se expresará el resultado.

6.-División entre Monomios.

DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS:

Los exponentes se restan y los coeficientes se dividen atendiendo a la ley de signos de la división.

PASOS PARA REALIZAR UNA DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS:

Ejemplo:

4x⁵y³z

—――――

-2x⁴y²z

paso 1: Empezamos dividiendo los números.

⸺= -2

-2

paso 2: Restar los exponentes.

a) x⁵ b) y³ c) z

⸺= x ⁽⁵-⁴⁾ = x ⸺ = y ⁽³-²⁾= y ⸺ = 0

x⁴ y² z

nota: si en las resta da 1 como resultado lo único que se pone es la variable. si no tienen exponente se cancela la variable.

Resultado:

4x⁵y³z

—―――― = -2xy (1) = -2xy

-2x⁴y²z

y²z

* ⸺ = 1 * su resultado es 1 por que si los divides da como resultado 1

y²z

ejemplo:

-12w⁶y⁷

⸺ = 2w⁴y²

-6w²y⁵

5.-Producto de Monomio por Polinomio.

PRODUCTO DE MONOMIO POR POLINOMIO:

QUE ES UN PRODUCTO DE MONOMIO POR POLINOMIO?

Operación que es vista por esta rama de la matemática como el procedimiento que se lleva a cabo con el fin de obtener el producto que puede existir entre dos expresiones algebraicas identificadas como monomios. En el caso concreto, en donde la multiplicación ocurre entre un monomio y un polinomio, se podría hablar entonces de la operación destinada a determinar el producto resultante cuando los factores de la multiplicación están constituidos por un monomio, y cada uno de los términos que componen el polinomio.

Resultado de imagen para que es multiplicacion de monomios por polinomios

PASOS PARA MULTIPLICAR UN MONOMIO POR UN POLINOMIO:

La Multiplicación de un monomio por un polinomio responde también a una serie de pasos y operaciones, las cuales deben hacerse ordenadamente, con el fin de dar con el resultado correcto. En este sentido, los pasos para resolverla se pueden describir como los siguientes:

Revisar cada una de las expresiones, a fin de comprobar que ciertamente se tratan de un monomio y un polinomio.

Multiplicar el signo del monomio por el signo que acompaña cada uno de los elementos del polinomio.

Multiplicar los valores numéricos del coeficiente del monomio por los coeficientes de los monomios que constituyen el polinomio, así como por el valor del término independiente.

Anotar a cada uno de los resultados, y respectivamente, los literales correspondiente, lo cual se determinará en dos sentidos: si los términos que se han multiplicado cuentan con la misma base, simplemente se deberá anotar ésta también en el resultado, si por el contrario, los términos cuentan con literales diferentes, entonces deberán anotarse en su totalidad, asumiendo para esto un orden alfabético (a,b,c ó x,y,z).

Finalmente, se deberán sumar los exponentes de literales de igual base en cada multiplicación, para poder agregárselo a su literal.

EJEMPLOS DE MULTIPLICACION DE UN MONOMIO POR POLINOMIOS:

Al revisar los factores de esta multiplicación, rápidamente pueden ser identificados respectivamente como un monomio y un polinomio. Así mismo, se puede determinar que se trata de términos positivos en su totalidad, por lo que en este caso no será necesario comenzar por la multiplicación de signos, puesto que todos los productos serán igualmente positivos. En consecuencia, se empezará planteando las distintas operaciones que se llevarán a cabo en esta multiplicación.

(2x2) . (5x5 + 3x3 + x2 + 4)=

(2x2 . 5x5) +(2x2.3x3) +(2x2.x2) + (2x2.4)=

Estas operaciones se resolverán, en consonancia con lo que dicta la teoría, multiplicando el valor de los coeficientes. Así mismo, al tratarse de variables de igual base, en todos los casos, al producto de los cocientes se le agregará esta misma base, la cual tendrá como exponente el total originado de la suma de sus exponentes:

(2x2 . 5x5) +(2x2.3x3) +(2x2.x2) + (2x2.4)=

(2. 5)x2+5+(2.3) x2+3+(2.1)x2+2+ (2.4)x2=

(10)x7+(6) x5+(2)x4+ (8)x2

Resultado: (2x2) . (5x5 + 3x3 + x2 + 4)= 10x7+6 x5+2x4+ 8x2

4.-División de Polinomios entre Polinomios.

¿QUE ES LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS?

Es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo. El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños.

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

Las partes que forman cualquier división, sea una división entre números o entre polinomios.Cualquier división está formada por el dividendo, el divisor, el cociente y el resto:

Si estas partes, las escribimos en forma definitiva polinomio, queda:

COMO REALIZAR UNA DIVISIÓN DE POLINOMIOS (PASO A PASO):

El primer paso consiste en colocar y escribir correctamente el dividendo y el divisor para poder empezar su división.

En nuestro caso, el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.

Tanto el dividendo, como el divisor, los términos se escriben en orden decreciente de los grados de sus términos, es decir, empezando por el de mayor grado, hasta llegar al término de grado 0 (el término independiente).

•Además, si falta el término de algún grado en el dividiendo, se deja un espacio en su lugar.

En nuestro ejemplo, el dividendo no tiene término de grado 2, por lo que dejamos un espacio en su lugar. Nos queda así:

Una vez tenemos en su sitio el dividendo y el divisor, y con los correspondientes huecos de los términos que faltan, vamos a empezar a calcular el cociente.

Para ello, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:

Y lo colocamos en el cociente. Corresponde al primer término del cociente:

Ahora, debemos multiplicar este término del cociente por cada uno de los términos del divisor:

Los colocamos debajo del dividendo, pero cumpliendo éstas dos condiciones:

•Cada uno se coloca debajo de su término semejante, es decir, del término tenga el mismo grado o de su hueco correspondiente (en el caso de que el dividendo no tenga término de ese grado).

•Con el signo contrario.

Nos queda de la siguiente manera:

Como dejamos un hueco para el término de grado 2, el 6x² lo colocamos debajo de ese hueco.

Y ahora en el dividendo, sumamos verticalmente las dos expresiones que tenemos:

Al tener cada término debajo de su término semejante del dividendo, esta suma se realiza de manera más ordenada.

Al realizar esta suma, el término de mayor grado se anula, que es el objetivo de todos los pasos que hemos dado hasta ahora.

Llegados a este punto, nos ha quedado una nueva expresión algebraica en el dividendo cuyo grado es mayor que el grado del divisor.

•Hay que seguir dividiendo hasta que la expresión que quede en el dividendo sea menor que el divisor.

Por tanto, seguimos dividiendo esta nueva expresión entre el divisor, repitiendo de nuevo todos los pasos:

Para calcular el segundo término del cociente, dividimos el primer término de la nueva expresión del dividendo, entre el primer término el divisor:

Y lo colocamos en el cociente.

Ahora, igual que antes, multiplicamos este segundo término del cociente por cada uno de los términos del divisor y los colocamos en la parte del dividendo, debajo de su término semejante y con el signo contrario. Sumamos verticalmente en el dividendo:

Anulando el término de mayor grado y obteniendo una nueva expresión, cuyo grado ahora es igual al grado del divisor, por lo que todavía podemos seguir dividiendo.

Volvemos a repetir el proceso para calcular el tercer término del cociente.

Ahora, la expresión resultante del dividendo tiene un grado menor que el grado del divisor. Por tanto, ya no podemos continuar, por lo que hemos terminado de dividir.

La última expresión que nos queda en la parte del dividendo, con grado menor que el grado del divisor, corresponde al resto R(x) y la expresión que hemos ido calculando, debajo del divisor, corresponde al cociente C(x).

Por tanto, el resultado de la división es el cociente C(x):

Y el resto R(x):

domingo, 25 de noviembre de 2018

3.-Multiplicación de Monomios.

¿QUÉ ES LA MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS?

Es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base, es decir, sumando los exponentes.

¿QUÉ ES EL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UN MONOMIO?

ES otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

PASOS PARA REALIZAR UNA MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:

•El primer paso. Que se debe seguir a la hora de multiplicar un monomio por alguna otra expresión, será –tomando en cuenta para ello la Ley de signos- multiplicar los signos de cada uno de los términos, es decir de los monomios o términos independientes.

•En segundo lugar, se deberán multiplicar los valores de cada uno de los coeficientes que se pueden observar en los términos.

•Al valor encontrado en la multiplicación de coeficientes, se le deberá atribuir el literal encontrado en los monomios –en caso de que estos sean de igual base- o los literales que pueden encontrarse entre los dos términos –si estos fuesen de diferente base- siendo anotados en orden alfabético.

•Finalmente, se deberán sumar los exponentes que se encuentren en los literales de igual base, resultado éste que se anotará como exponente en el literal del resultado que corresponda.

EJEMPLOS:

5 · (2x² y³z) = 10x² y³z

axⁿ · bx^m = (a · b)x^{n + m}

(5x² y³z) · (2 y² z²) = 10 x² y⁵z³

EJEMPLOS DE MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN TERMINO INDEPENDIENTE:

Puede suceder que la multiplicación se plantea entre un monomio y un término independiente (definido como el elemento numérico en donde no puede verse un elemento literal). En este caso, el Álgebra elemental indica que se deberá multiplicar el valor del término independiente por el coeficiente del monomio, a fin de obtener un producto, al que le será atribuido de forma íntegra el literal del monomio. Algunos ejemplos de este tipo de caso de multiplicación de monomios pueden ser los siguientes:

sábado, 24 de noviembre de 2018

2.-Términos Semejantes.

¿QUÉ ES UN TÉRMINO SEMEJANTE?
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

RECUERDA:

Números con signos iguales se suman
Números con signos diferentes se restan y se deja el signo del mayor.

PROCEDIMIENTO

Se agrupan los términos semejantes (en caso de que haya variedad de literales)
Se suman o restan los coeficientes (parte numérica)
Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante.
EJEMPLOS: